1985 metais J.Vaškevičius baigė Vilniaus inžinerinį statybos institutą dirbo bendrovėje „Vilniaus komprojektas“. 1996-aisiais įkūrė „Architektūros studiją“, kuriai ir vadovavo.
Už ryškų vaidmenį architektūroje 2008–2010 metais buvo išrinktas Lietuvos architektų sąjungos pirmininku, o vėliau, 2010–2016 metais, vadovavo ir Lietuvos architektų rūmams.
Plačiajai visuomenei architektas tapo žinomas bendrovės „Lietuvos geležinkeliai“ muziejaus pastatu Mindaugo gatvėje Vilniuje (2000), „Mercedes-Benz“ autocentru Pirklių gatvėje (2002), picerijos „Bella Italia“ interjeru (2005).
2020 metais apdovanotas Lietuvos architektų sąjungos garbės ženklu.
Pastaruoju metu J.Vaškevičius buvo Ignalinos rajono savivaldybės vyr. architektas.
Vasario 3 d. (pirmadienį) 18 val. Vilniaus Švč. Mergelės Marijos Ramintojos bažnyčioje bus meldžiamasi už Juozą Vaškevičių.
Atsisveikinimas vyks vasario 5 d. (trečiadienį) nuo 9:00 iki 20:30 val. ir vasario 6 d. (ketvirtadienį) nuo 9:00 iki 13:00 val. M. Paco g. 4. Laidotuvės Antakalnio kapinėse.
