Naujasis mėlynai baltų žaidėjas savo futbolo kelią pradėjo jaunimo futbole, o nuo 2016 metų atstovavo FA „Žalgirietis“. Vėliau futbolininkas rungtyniavo FK „Žalgiris“ jaunių ir jaunimo komandose, o nuo 2019-ųjų vilkėjo FK „Panerys-SK Polonija“ marškinėlius.
2020 metais A. Kaulinis prisijungė prie FK „Viltis“ ekipos, kur sėkmingai debiutavo oficialiose rungtynėse. Debiutinėse Antros lygos rungtynėse jis pasižymėjo įvarčiu, o LFF taurės turnyre surengė įspūdingą pasirodymą, pelnydamas tris įvarčius į FK „Saned“ vartus.
Nuo 2022 metų futbolininkas atstovavo FK „Riteriai“ klubui. Čia jis debiutavo Pirmos lygos pirmenybėse, o 2023 metais žengė ir į A lygą. 2025 metų sezone Andrius rezultatyviai priminė apie save rungtynėse prieš Vilniaus „Žalgirį“, kai pelnė du įvarčius.
Prisijungęs prie Kauno rajono FC „Hegelmann“, A. Kaulinis pradeda naują karjeros etapą ir sieks savo energija, darbu bei žaidimu prisidėti prie mėlynai baltų tikslų.
„Džiaugiuosi prisijungęs prie FC „Hegelmann“. Tai man yra puiki galimybė žengti dar vieną žingsnį į priekį, tobulėti ir padėti komandai siekti savo tikslų. Esu pasiruošęs atiduoti visas jėgas aikštėje ir tikiuosi kartu su sirgaliais patirti daug gražių akimirkų“, – sakė A.Kaulinis.
„Sveikiname Andrių Kaulinį prisijungus prie mėlynai baltų šeimos ir linkime sėkmingo sezono vilkint FC „Hegelmann“ marškinėlius“, – pridūrė Lietuvos futbolo vicečempionų klubas.
Šiame sezone „Hegelmann“ per 2 turus kol kas surinko 1 tašką.
