Dirbtinio intelekto tyrimų ir diegimo organizacija „OpenAI“ nustebino matematikų bendruomenę paskelbusi, kad vienas jos vidinių modelių rado kontrapavyzdį garsiai hipotezei, kurią 1946 m. iškėlė legendinis vengrų matematikas Paulas Erdosas.
Plokštumos vienetinio atstumo problema, dar vadinama 90-ąja Erdoso problema, matematikus domina jau kelis dešimtmečius. Naujas DI pateiktas rezultatas nėra tik matematinė įdomybė, bet ir kitų matematikų pripažintas sprendimas. Šis proveržis, pasiektas naudojant bendros paskirties DI modelį, o ne specialiai matematikai sukurtą sistemą, rodo ir tai, kaip dirbtinis intelektas keičia pačius matematinius tyrimus.
Praėjus kelioms dienoms po „OpenAI“ straipsnio apie problemos sprendimą, JAV matematikas Willas Sawinas, remdamasis ta pačia argumentavimo kryptimi, pasiekė dar geresnį užduoties sprendimo rezultatą. Be to, praėjusią savaitę „Google DeepMind“ komanda, pasitelkusi vieną iš savo modelių, išsprendė dar devynias mažesnes iki tol neišspręstas P.Erdoso paliktas problemas.
Taškai ir linijos
P.Erdosas buvo vienas produktyviausių XX a. matematikų. Jis garsėjo gebėjimu kelti iš pirmo žvilgsnio paprastus, tačiau apgaulingai sudėtingus klausimus, kurių sprendimų matematikai neretai ieškodavo dešimtmečius.
Iš pirmo žvilgsnio ir pati 90-oji problema atrodo gana paprasta.
Įsivaizduokite, kad ant begalinio dydžio popieriaus lapo pažymite tam tikrą skaičių taškų – tą skaičių pavadinkime n. Klausimas toks: jei taškus galite išdėstyti kaip tik norite, kiek taškų porų galima išdėstyti taip, kad atstumas tarp jų būtų lygiai vienas vienetas?
Jeigu pabandytumėte šią problemą spręsti patys, greičiausiai pradėtumėte nuo baigtinio dydžio popieriaus lapo. Netrukus galėtų kilti mintis, kad vienas perspektyviausių taškų išdėstymo būdų yra kvadratinis tinklelis. Jame esantys vienodi tarpai natūraliai sukuria daug taškų porų, nutolusių vienodu atstumu viena nuo kitos.
Tokia intuicija smarkiai formavo ankstyvąjį šios problemos supratimą. Didėjant taškų skaičiui, į tinklelį panašūs išdėstymai ir toliau atrodė itin veiksmingi.
Dešimtmečius buvo plačiai manoma, kad tokios itin taisyklingos struktūros yra beveik geriausias įmanomas sprendimas. Pats P.Erdosas buvo iškėlęs hipotezę, kad jokia konstrukcija negali reikšmingai pagerinti šių intuityvių išdėstymų rezultato, net jei taškų skaičius būtų labai didelis.
Naujausias geriausias rezultatas, kurį pasiekė W.Sawinas, pranašumą ima rodyti tik tada, kai taškų skaičius siekia maždaug 10²⁰⁰⁰⁰⁰⁰. Kitaip tariant, tai yra vienetas su dviem milijonais nulių.
Pastaruosius 80 metų matematikai bandė įrodyti, ar P.Erdoso hipotezė yra teisinga. Šios pastangos problemą susiejo su kitomis matematikos sritimis – incidencine geometrija, grafų teorija ir ekstremaline kombinatorika. Nors galutinis įrodymas ilgą laiką liko nepasiekiamas, tarp matematikų vyravo įsitikinimas, kad P.Erdoso hipotezė greičiausiai yra teisinga. Vis dėlto naujausias „OpenAI“ proveržis tai paneigė.
Naujajame rezultate pasitelkiami algebrinės skaičių teorijos įrankiai. Jie leidžia parodyti, kad egzistuoja tokių taškų išdėstymo būdų, kuriuose vienetiniu atstumu nutolusių porų yra gerokai daugiau nei kvadratiniame tinklelyje. Be to, taip nutinka ne pavieniais atvejais, o begaliniam skaičiui n reikšmių.
Straipsnyje, kurį „OpenAI“ paskelbė kartu su naujuoju moksliniu darbu, rezultatą komentavo keli žymūs matematikai. Fieldso medalio laureatas Timothy Gowersas rašė, kad jeigu straipsnį su šiuo rezultatu prestižiniam žurnalui „Annals of Mathematics“ būtų pateikęs žmogus tyrėjas, jis būtų rekomendavęs jį publikuoti be jokių dvejonių.
Jis taip pat pridūrė, kad joks ankstesnis DI sukurtas įrodymas nebuvo priartėjęs prie tokio sudėtingumo lygio. Šis proveržis laikomas ir pirmu reikšmingu atviros matematinės problemos sprendimu, pasiektu naudojant DI su minimaliu žmogaus įsikišimu – neskaitant pradinės užklausos.
Trys matematinio tyrimo raktai
Matematikos tyrėjai kompiuterius naudoja jau seniai, tačiau jų darbas retai apsiriboja vien skaičiavimais. Dauguma svarbiausių proveržių gimsta iš subtilaus kelių dalykų derinio: per daugelį metų sukauptos kompetencijos, nuoseklių pastangų kūrybiškai taikyti šias žinias tyrinėjant įvairias idėjas – kurių daugelis galiausiai pasirodo esančios aklavietės – ir retų konceptualių šuolių, staiga pakeičiančių patį problemos supratimą.
Be to, jie gali vienu metu tikrinti daugybę spekuliatyvių tyrimo krypčių – net ir tas, kurios greičiausiai niekur nenuves.
Pirmosios dvi sritys yra būtent tos, kuriose DI modeliai yra itin stiprūs. Kaip pažymėjo T.Gowersas, didieji kalbos modeliai, tokie kaip „ChatGPT“, turi enciklopedinių matematikos žinių. Be to, jie gali vienu metu tikrinti daugybę spekuliatyvių tyrimo krypčių – net ir tas, kurios greičiausiai niekur nenuves, – nevaržomi žmogaus laiko ribotumo.
Panašu, kad šiuo atveju būtent šis gebėjimas ir tapo sėkmės raktu. Žvelgiant atgal, atrodo, kad matematikos ekspertas, gavęs kelias užuominas, tikriausiai būtų galėjęs prieiti prie tokio pat įrodymo.
Sudėtingesnis klausimas – kiek DI gali prisidėti prie tikrų konceptualių šuolių. Staigios įžvalgos akimirkos, kai problema tarsi nušvinta ir yra permąstoma visiškai nauju būdu, dažnai laikomos viena žmogiškiausių matematikos dalių.
Tokius šuolius sunku formalizuoti, o dar sunkiau – numatyti. Todėl net ir atsižvelgiant į pastarojo meto pažangą, vis dar neaišku, ar DI modeliai gali juos atkartoti.
Aišku viena – DI modeliai iš esmės keičia tai, kaip daromi matematiniai atradimai. Šimtmečius matematikos pažanga beveik visiškai priklausė nuo žmogaus kūrybiškumo ir atkaklumo. Dabar tyrėjai pirmą kartą dirba kartu su sistemomis, kurios geba savarankiškai tyrinėti milžiniškas idėjų erdves ir prisidėti prie problemų, kadaise laikytų pasiekiamomis tik žmogaus įžvalgai.
